全般的なアドバイス

• 受験雑誌「蛍雪時代」（旺文社）への掲載記事
  藤田貴志 執筆（旺文社の受験サイト「パスナビ」）
  ■“直前＆本番”超効率対策ガイド 2022.12.16
  ■高得点への“傾向と対策” 2022.06.19

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  ■“直前＆本番”得点強化講義 2021.12.15
  ■得点8～9割突破への対策法 2021.05.19

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  ■最終対策＆本番解答術 2020.12.14
  

　数学IA対策

• ■定性的な問題で頭の体操

  以下の正誤を答えよ。

  Q1 実数 $a$ の値によっては $|x-2|>a$ を満たす実数 $x$ は存在しない。

  誤り　 どんな $a$ だろうが、例えば $x=3+|a|$ は不等式を満たす。

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  Q2 集合の包含関係 $P\subset Q$ が成り立つとき，要素の個数について $ n(P) < n(Q) $ が成り立つ。

  誤り　 $P=Q$ でも $P\subset Q$ と言えるから，$n(P) = n(Q)$ かもしれない。

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  Q3 $p \Longrightarrow r$ かつ $q \Longrightarrow r$ が成り立つとき，$p$ は $q$ であるための必要条件になり得る。

  正しい　 例えば，$p:x>2$，$q:x>1$，$r:x>0$ の場合が考えられる。

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  Q4 2次関数の値が増加している範囲内では，その値は正である。

  誤り　 例えば，$y=x^2 -1$ は $x\geqq 0$ において増加しているが，$0\leqq x<1$ では負の値をとる。

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  Q5 $a$，$b$ が $ a < b$ を満たす定数であるとき，$a\leqq x\leqq b$ において2次関数 $y=f(x)$ が最小値をとる $x$ の値が2つ以上存在することはあり得ない。

  誤り　 例えは，$a=-1$，$b=1$，$y=-x^2$ だと，$y$ が最小値をとる $x$ は $x=-1$ と $x=1$ の2つある。

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  Q6 2つの事象について，起こる確率が等しければ，それらは同じ事象であるといえる。

  誤り　 例えば，サイコロを振る試行において，「偶数が出る」「奇数が出る」という2つの事象は起こる確率は等しいが同じ事象ではない。

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  Q7 サイコロを振るという事象において，全事象は6通りある。

  誤り　 「全事象（何かが出るという事象）」は1つしかない。

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  Q8 全事象と空事象の和事象の確率は 1 である。

  正しい　 全事象と空事象の和事象は全事象だから，その確率は 1 である。全事象の確率は 1，空事象の確率は 0 であり，全事象と空事象は互いに排反だから，その和事象の確率は $1+0=1$ である，と考えてもよい。

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  以下の正誤を答えよ。

  Q1 三角形 ABC において，$\angle{\rm BAC}$ の二等分線と辺 BC の交点 D は辺 BC の中点である。

  誤り　 角の二等分線の性質から，BD:DC=AB:AC だから，AB≠AC の場合 D は辺 BC の中点ではない。

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  Q2 三角形 ABC とその外接円 $S$ において，$\angle{\rm BAC}$ の二等分線は A を含まない側の円弧BCを2等分する。

  正しい　 二等分線と円弧の交点をEとするとき，円周角 $\angle{\rm BAE}$ と $\angle{\rm CAE}$ が等しいことから，円周角の定理により BE=CE となる。

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  Q3 同一の円においては円周角が大きいほど対応する弦の長さは大きくなる。

  誤り　 円周角が90°を超えると円周角が増加するにつれ弦の長さは短くなっていく。
  正弦定理より，(弦の長さ)=(直径)$\times \sin$(円周角)

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  Q4 四分位範囲は必ずデータの範囲以下である。

  正しい　 定義から，(四分位範囲)=(第3四分位数)-(第1四分位数) であり，(データの範囲)=(最大値)-(最小値) である。

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  Q5 四分位偏差を 2 倍すると必ず四分位範囲に一致する。

  正しい　 定義から，(四分位偏差)=(四分位範囲)/2 である。

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  Q6 平均値は第３四分位数より大きくはならない。

  誤り　 最大値辺りの値だけが極端に大きい場合などは平均値が第３四分位数を超えることがある。例えば，「0,0,0,0,1,11」というデータでは，(平均値)=2，(第３四分位数)=1 である。

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  Q7 中央値，最頻値，平均値のうち中央値のみが異なる値をとることはない。

  誤り　 例えば，「0,1,2,3,4,4,14」というデータでは，(中央値)=3，(最頻値)=(平均値)=4 である。

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  Q8 組み合わせる2つのデータの散らばり方によっては相関係数が 1 より大きくなることもある。

  誤り　 相関係数は -1 以上 1 以下に収まるように定義されている。

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  Q9 偏差の平均値が負になることはない。

  正しい。　 偏差（$x-\overline{x}$）の平均は必ず0になる。実際，$\overline{x-\overline{x}~}=\overline{x}-\overline{x}=0$

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  Q10 $-7$ を 3 で割った余りは $-1$ または 1 である。

  誤り　 $-7=3\times (-3)+2$ だから，$-7$ を 3 で割った余りは 2 である。因みに「余り」の定義から，3 で割った余りは一般に 0, 1, 2 のいずれかである。

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  Q11 2つの整数について，和と差はその偶奇が一致する。

  正しい　 $(a+b)-(a-b)=2a$であり，「和と差の差が偶数である」ことから「和と差は偶奇が一致する」。

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  以下の正誤を答えよ。

  Q1 実数 $a$ に対して，$a^2$ が偶数ならば $a$ は偶数である。

  誤り　 反例として $a=\sqrt2$ が挙げられる。$a^2=2$ は整数であるにもかかわらず，$a$は偶数ではない（どころか整数ですらない）。

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  Q2 命題「$p$ ならば $q$」が偽であるならば命題「$p$ ならば $\overline{q}$ は真である。

  誤り　 例えば，実数 $x$ についての条件
  $p:$「$x$ は有理数である，$q:$「$x$ は整数である」について，
  命題「$p$ ならば $q$（有理数はすべて整数である）」は偽であるが，
  命題「$p$ ならば $\overline{q}$（有理数はすべて非整数である）」も偽である。

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  Q3 有理数と無理数の積は有理数にも無理数にもなりうる。

  正しい　 有理数 $0$ と無理数 $\sqrt2$ の積 $0$ は有理数であり，有理数 $1$ と無理数 $\sqrt2$ の積 $\sqrt2$ は無理数である。

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  Q4 条件「全員が英語と数学の両方で満点をとる」の否定は「全員が英語と数学のいずれかでは満点を逃す」である。

  誤り　 否定は「全員が英語と数学の両方で満点をとるわけではない」と考えて，正しくは「少なくとも 1 人が英語と数学のいずれかでは満点を逃す」となる。

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  Q5 差が 1 より小さい 2 つの実数の間には整数は存在しない。

  誤り　 例えば，$a=0.9$，$b=1.1$ のとき，$a$ と $b$ の差 $0.2$ は 1 より小さいが，$a$ と $b$ の間に整数 1 が存在する。

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  Q6 ２次式 $f(x)=ax^2+bx+c$ について，$f(0) > 0$ かつ２次方程式 $f(x)=0$ が異符号の２実数解をもつならば，$ a < 0 $ である。

  正しい　 $y=f(x)$ のグラフが「$x$ 軸の負の部分」「$y$ 軸の正の部分」「$x$ 軸の正の部分」を通ることから，上に凸だとわかる。

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  Q7 ２次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフが $x$ 軸の正の部分とただ 1 つの共有点をもつならば，$b^2-4ac=0$ が成り立つ。

  誤り　 例えば $a=1$，$b=0$，$c=-1$のとき，2 次関数 $y=x^2-1$ のグラフは $x$ 軸の正の部分とただ 1 つの共有点 $(1,0)$ をもつが，$b^2-4ac=4\neq 0$ である。

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  Q8 どんな三角形でも例外なく３本の中線は１点で交わる。

  正しい　 それが重心です。「チェバの定理の逆」という定理を利用するなどして確認できます。

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  Q9 鈍角三角形の内心，外心，垂心はいずれも三角形の外側にある。

  誤り　 外心と垂心は三角形の外側にあるが，内心は（３つの内角の二等分線上にあるので）三角形の内側にある。

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  以下の正誤を答えよ。

  Q1 和が $180$° である２つの角の余弦の和は０である。

  正しい　 その２つの角を $\theta$，$180^\circ -\theta$ とすると，$\cos (180^\circ -\theta ) +\cos\theta =0$ が成り立つ。

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  Q2 和が $90$° である２つの角について，一方の正弦と他方の余弦の値は等しい。

  正しい　 その２つの角を $\theta$，$90^\circ -\theta$ とすると，$\sin\theta =\cos (90^\circ -\theta )$ が成り立つ。$\cos\theta =\sin (90^\circ -\theta )$ も成り立つ。

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  Q3 和が $90$° である２つの角について，それらの正接の積は１である。

  正しい　 その２つの角を $\theta$，$90^\circ -\theta$ とすると，$\tan (90^\circ -\theta ) = \frac{1}{\tan\theta} $ より，$\tan\theta \times \tan (90^\circ -\theta ) =1$ が成り立つ。

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  Q4 箱ひげ図からデータの大きさを知ることができる。

  誤り　 箱ひげ図からは最小値，第一四分位数，中央値，第三四分位数，最大値という「データの分布の様子」しかわからないので，データの大きさ（含まれる数値の個数）を知ることはできない。

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  Q5 $0 < B < A$ である限りにおいて $\frac{A-B}{A}$ の値は $A$ が小さくなるにつれ小さくなる。

  正しい　 $\frac{A-B}{A}=1-\frac{B}{A}$ であり，$A$ が小さくなるにつれ，$\frac{B}{A}$ は大きくなり $1-\frac{B}{A}$ は小さくなる。

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  Q6 袋の中に青色，赤色，黄色の３種類の球が入っているいて，そこから１つをとり出すとき，とり出した球が青色である確率は $\frac13$ である。

  誤り　 球が何個入っているかわからず，各色の球がどのような割合で取り出されるかが未知である。ひょっとしたら「青色１個，赤色１個，黄色８個」という設定かもしれない。

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  以下の正誤を答えよ。

  Q1 $a\leqq x\leqq b$ において，２次関数は $x=a$, $x=b$ のいずかれのとき最大値をとる。

  誤り　 $x^2$ の係数が負であり，グラフの対称軸が $a< x< b$ にある場合は，その対称軸の $x$ において最大値をとる。

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  Q2 $x$ が実数全体を変化するとき，２次関数 $y=f(x)$ の値域は「 $(f(x)\text{の最小値}) \leqq y \leqq (f(x)\text{の最大値})$ 」と表される。

  誤り　 グラフで判断するとよい。$f(x)$ の $x^2$ の係数が正ならば $\text{「}(f(x)\text{の最小値}) \leqq y \text{」}$ と表され， $f(x)$ の $x^2$ の係数が負ならば $\text{「}y \leqq (f(x)\text{の最大値})\text{」}$ と表される。

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  Q3 ２辺の長さが等しい２つの三角形について，面積比はそれらの夾角の正弦の比に比例する。

  正しい　 ２辺の長さを $b$, $c$ とし，夾角を $\alpha$, $\beta$ とすると，三角形の面積比は $\frac12 bc\sin\alpha : \frac12 bc\sin\beta = \sin\alpha : \sin\beta$

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  Q4 三角形の２つの内角の正弦の値がわかれば，その三角形の形状は１つに定まる。

  誤り　 例えば，$\sin\alpha = \frac12$, $\sin\beta = \frac{\sqrt3}{2}$ の場合，残りの内角を $\gamma$ とすると， $(\alpha, \beta, \gamma) =(30\text{°},60\text{°},90\text{°})$ や $(\alpha, \beta, \gamma) =(30\text{°},120\text{°},30\text{°})$ などが考えられる。

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  Q5 $2x+3y+4z=8$ を満たす正の整数の組 $(x,y,z)$ は存在しない。

  正しい　 $x\geqq 1$, $y\geqq 1$, $z\geqq 1$ だから $2x+3y+4z$ の値は必ず 9 以上であり，方程式が成り立つことはない。

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  Q6 ２進数 $abc11$ を４進法で表したとき，その下１桁は $3$ である。

  正しい　 この数 $abc11_{(2)}$ を 2 で割ると余りが 1 であり，さらにその商 $abc1_{(2)}$ を 2 で割ると余りが 1 であるから，$abc11_{(2)}$ を 4 で割ると余りは 3 である。 $abc11_{(2)} = abc_{(2)}\times 2^2 +1\times 2 +1 =4\times (\text{整数}) +3$
  と考えてもよい。

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  Q7 差が 60 で割り切れる２つの整数について，必ずしも 60 で割ったときの余りが等しいとは限らない。

  誤り　 一般に，差が自然数 $a$ で割り切れる２つの整数は $a$ で割ったときの余りが等しい

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  Q8 C が線分 AB の外分点ならば，B は線分 AC の内分点である。

  誤り　 C，A，B がこの順に一直線に並んでいる場合，C は線分 AB の外分点であり，しかも B は線分 AC の外分点である。

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  Q9 三角形 ABC において，線分 AB の中点を M とするとき，${\rm MC}={\rm MA}$ ならば $\angle{\rm ACB}=90\text{°}$ である。

  正しい　 点 C は AB を直径とする円周上にある。

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• ■センター試験IA盲点対策用に以前作成した問題

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　数学IIB対策

• ■定性的な問題で頭の体操

  以下の正誤を答えよ。

  Q1 ３次方程式は係数が実数でありさえすればたとえ虚数解をもっていたとしても３解の和は必ず実数である。

  正しい　 係数が実数であれば，虚数解は現れたとしても共役複素数 $a+bi$，$a-bi$ のセットとなるため，和を計算するとその虚部は打ち消しあう。

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  Q2 ３次方程式はその定数項のみから３解の積の値が決まる。

  誤り　 ３次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の３解の積は $-\frac{d}{a}$ に一致するから，$x^3$ の係数も関わってくる。

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  Q3 指数関数のグラフは右上がりである。

  誤り　 底が１より大きいならグラフは右上がりだが，底が１より小さいならグラフは右下がりである。 つまり，指数関数 $y=a^x$ は $a>1$ ならば単調増加であり，$(0< )a< 1$ ならば単調減少である。

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  Q4 指数関数 $y=a^x$ のグラフが右下がりならば，対数関数 $y=\log_a x$ のグラフも必ず右下がりである。

  正しい　 指数関数 $y=a^x$ が単調減少ならば，$(0 < ) a < 1$ とわかり，このとき指数関数 $y=a^x$ は単調減少とわかる。

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  Q5 対数関数 $y=\log_a x$ のグラフを適当に平行移動させて対数関数 $y=\log_a 2x$ のグラフに一致させることができる。

  正しい　 $y=\log_a x$ のグラフを $y$ 軸方向に $\log_a 2$ だけ平行移動させるとよい。$y=\log_a x +\log_a 2 = \log_a 2x$

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  Q6 数列 $\{ a_n \}$ の階差数列について，その初項から第 3 項までの和は $a_4$ に一致する。

  誤り　 $(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3) = a_4 -a_1$であり，$a_1\neq 0$ の場合は $a_4$ とは異なる値をとる。

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  Q7 等差数列の階差の値が増加するか減少するかは初項や公差の値によって違ってくる。

  誤り　 どんな等差数列 $\{ a_n \}$ もその階差の値は $n$ によらず一定（公差）であり，増えたり減ったりすることはない。

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  以下の正誤を答えよ。

  Q1 導関数の値が増加する区間においては，元の関数の値はつねに正である。

  誤り　 例えば，$f(x)=x^2-1$ の場合，導関数 $f'(x)=2x$ が増加する区間は実数全体であるが，もとの関数 $f(x) =x^2$ は $-1< x< 1$ において負の値をとる。

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  Q2 関数が負の値をとる区間においては，その原始関数はつねに減少する。

  正しい　 その原始関数を $f(x)$ とすると，元の関数は $f(x)$ からみて導関数となっており $f'(x)$ と表せる。$f'(x)<0$ となる区間において $f(x)$ はつねに減少する。

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  Q3 方程式 $f'(x)=0$ が異なる2つの実数解をもつならば，関数 $f(x)$ は極値をもつ。

  誤り　 例えば，$f'(x)=(x-1)^2(x-2)^2$ だと，方程式 $f'(x)=0$ は異なる2つの実数解 $x=1,~2$ をもつが， $f'(x)$ はつねに０以上の値をとる（とくに $x\neq 1,~2$ ではつねに正の値をとる）ので，$f(x)$ は単調増加であり極値をもたない。

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  Q4 放物線 $y=ax^2+bx+c$ と直線によって囲まれる部分の面積は共有点の $x$ 座標の差のみに依存して定まる。

  誤り　 その面積 $S$ は共有点の $x$ 座標 $\alpha$ と $\beta$ の差 $\beta -\alpha$ だけでなく，２次関数の $x^2$ の係数にも依存する。 $S= \frac{|a|}{6}\big| \beta - \alpha \big|^3$

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  Q5 平面において，２つのベクトル $\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$ の組み合わせによっては，$\overrightarrow{c}=\bigcirc \overrightarrow{a}+\bigcirc \overrightarrow{b}$ と表すことのできないベクトル $\overrightarrow{c}$ が存在する。

  正しい　 例えば，座標平面において $\overrightarrow{a}=(2,0)$，$\overrightarrow{b}=(1,0)$ の場合， $\overrightarrow{c}=(0,1)$ を $\overrightarrow{c}=\bigcirc \overrightarrow{a}+\bigcirc \overrightarrow{b}$ と表すことは不可能である。

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  Q6 正三角形ABCにおいて，$\overrightarrow{\rm AB}$ と $\overrightarrow{\rm BC}$ の内積の値は負である。

  正しい　 $\overrightarrow{\rm AB}$ と $\overrightarrow{\rm BC}$ は，始点をそろえて図示すると，そのなす角 $\theta$ が鈍角だとわかり，内積は負の値をとる。 $\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm BC} = \big| \overrightarrow{\rm AB}\big| \big| \overrightarrow{\rm BC}\big| \cos \theta <0$

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  以下の正誤を答えよ。

  Q1 点 $(x,y)$ が直線 $ax+by+c=0$ から遠のけば遠のくほど $ax+by+c$ の値は大きくなる。

  誤り　 $ax+by+c$ が負の値をとる側の領域では，点 $(x,y)$ が直線 $ax+by+c=0$ から遠のけば遠のくほど $ax+by+c$ の値は小さくなる。 因みに，$|ax+by+c|$ の値は大きくなる。

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  Q2 実数 $a$，$b$ が定まっているとき，点 $(x,y)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離は $|ax+by+c|$ の値に比例する。

  正しい　 点と直線の距離公式より，点 $(x,y)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離は $\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}|ax+by+c|$ （比例定数は $\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ）と表される。

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  Q3 平面において，どの点からも単位円に２本の接線が引ける。

  誤り　 円の内部の点からは１本も引けないし，円周上の点からは１本しか引けない。

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  Q4 $A\sin^2 x +B\cos^2 x +C\sin x\cos x$ という式は，変形すると $(\text{定数}) \times \sin (2x+(\text{定数}))+(\text{定数})$ の形で表すことができる。

  正しい　 半角・倍角の関係式 $\sin^2 x= \frac12(1-\cos 2x)$，$\cos^2 x=\frac12(1+\cos 2x)$，$\sin x\cos x=\frac12 \sin 2x$ を用いると $\text{「}(\text{定数})\sin 2x + (\text{定数})\cos 2x + (\text{定数})\text{」}$と表され，さらに合成の公式を用いると $\text{「}(\text{定数})\sin (2x +(\text{定数})) + (\text{定数})\text{」}$の形に変形できる。

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  Q5 $a$ がどんな正の数であっても $0\leqq x \leqq a$ において $(\sin x=0 \text{ の解の個数}) \geqq (\cos x=0 \text{ の解の個数})$ が成り立つ。

  正しい　 $x$ の値を 0 からどんどん大きくしていきながら単位円上の点 $(\cos x,~\sin x)$ の動きを追っていくと， $\sin x=0$ となる点（ $(\pm 1,0)$ ）と $\cos x=0$ となる点（ $(0,\pm 1)$ ）が１つずつ交互に現れる。 初めに現れるのが前者であることから，$0\leqq x\leqq a$ の範囲において， $\sin x=0$ となる点の個数は $\cos x=0$ となる点の個数より 1 だけ大きいかまたは等しい。

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  Q6 $\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$ のうちどれも $\overrightarrow{0}$ でなく，かつどの２つも平行ではないならば，これらは同一平面内にはとれない。

  誤り　 例えば，$xy$ 平面上に $\overrightarrow{a}=(1,0)$，$\overrightarrow{b}=(0,1)$，$\overrightarrow{c}=(1,1)$ をとることができる。

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  以下の正誤を答えよ。

  Q1

  　

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  Q2

  　

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  Q3

  　

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  Q4

  　

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  Q5

  　

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  Q6

  　

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  以下の正誤を答えよ。

  Q1

  　

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  Q2

  　

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  Q3

  　

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  Q4

  　

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  Q5

  　

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  Q6

  　

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• ■センター試験IIB盲点対策用に以前作成した問題

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　2023阪大数学解答例

• 理系第１問
• 理系第２問
• 理系第３問
• 理系第４問
• 理系第５問

　阪大の過去問（問題のみ）

• ２０２２年度入試（理系前期）
• ２０２１年度入試（理系前期）
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• ２０１９年度入試（理系前期）
• ２０１８年度入試（理系前期）
• ２０１７年度入試（理系前期）

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• ２０２２年度入試（文系前期）
• ２０２１年度入試（文系前期）
• ２０２０年度入試（文系前期）
• ２０１９年度入試（文系前期）
• ２０１８年度入試（文系前期）
• ２０１７年度入試（文系前期）

　神大の過去問（問題のみ）

• ２０２２年度入試（理系前期）
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　京大の過去問（問題のみ）

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　参考書籍

• ■過去問72年分（大原仁）

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